A un certo punto della tua vita, potrebbe essere dovuto effettuare una serie di pagamenti fissi per un periodo di tempo - come i pagamenti in locazione o auto - o hanno ricevuto una serie di pagamenti per un periodo del tempo, ad esempio i coupon obbligazionari. Questi sono chiamati annuità. Se comprendi il valore temporale del denaro, sei pronto a conoscere le rendite e come vengono calcolati i valori presenti e futuri.

Quali sono le rendite?

Le rendite sono essenzialmente una serie di pagamenti fissi richiesti da voi, o pagati a voi, ad una frequenza specificata nel corso di un determinato periodo di tempo. Le frequenze di pagamento più comuni sono annualmente, semestralmente (due volte l'anno), trimestrali e mensili. Ci sono due tipi fondamentali di rendite: le rendite ordinarie e le rendite dovute.

• Rendita ordinaria: i pagamenti sono richiesti alla fine di ogni periodo. Ad esempio, le obbligazioni dure pagano solitamente pagamenti cedolari alla fine di ogni sei mesi fino alla data di scadenza della obbligazione.
• Annuità dovuta: I pagamenti sono richiesti all'inizio di ogni periodo. L'affitto è un esempio di rendita dovuta. Di solito è richiesto di pagare l'affitto quando si inizia prima all'inizio del mese e successivamente il primo di ogni mese successivo.

Dal momento che i calcoli di valore attuali e futuri per le rendite ordinarie - e le rendite dovute sono leggermente diverse - discuteremo innanzitutto il calcolo del valore attuale e futuro delle rendite ordinarie.

Calcolare il valore futuro di un'annualità ordinaria

Se sai quanto puoi investire per periodo per un certo periodo di tempo, il valore futuro (FV) di una formula di rendita ordinaria è utile per scoprire quanto volete avere in futuro investendo al tuo tasso di interesse dato. Se stai effettuando pagamenti su un prestito, il valore futuro è utile per determinare il costo totale del prestito.

Andiamo ora all'Esempio 1. Consideriamo il seguente schema di flussi di cassa della rendita:

Per calcolare il valore futuro della rendita, dobbiamo calcolare il valore futuro di ogni flusso di cassa. Supponiamo che ricevi $ 1 000 ogni anno per i prossimi cinque anni e tu hai investito ogni pagamento al 5%. Il seguente schema mostra quanto avresti a fine periodo di cinque anni:

Dal momento che dobbiamo aggiungere il valore futuro di ogni pagamento, si può notare che se si dispone di una rendita ordinaria con molti flussi di cassa, ci vorrà molto tempo per calcolare tutti i valori futuri e poi aggiungerli insieme. Fortunatamente la matematica fornisce una formula che funge da scorciatoia per trovare il valore accumulato di tutti i flussi di cassa ricevuti da una rendita ordinaria:

dove C = Flusso di cassa per periodo

i = tasso di interesse

n = numero di pagamenti Utilizzando la formula sopra sopra per l'esempio 1, questo è il risultato: = $ 1000 * [5.53]

= $ 5525. 63

Si noti che la differenza di 1 cent tra $ 5, 525, 64 e $ 5, 525, 63 è dovuta ad un errore di arrotondamento nel primo calcolo. Ogni valore del primo calcolo deve essere arrotondato al centesimo più vicino - più si devono compilare i numeri in un calcolo, si verificheranno più probabilmente gli errori di arrotondamento. Quindi, la formula sopra non solo fornisce una scorciatoia per trovare la VV di una rendita ordinaria, ma fornisce anche un risultato più accurato. Calcolo del valore attuale di un'annualità ordinaria

Se si desidera determinare il valore di una serie futura di pagamento, è necessario utilizzare la formula che calcola il valore attuale di una rendita ordinaria. Questa è la formula che usi come parte di un calcolo dei prezzi delle obbligazioni. Il PV di una rendita ordinaria calcola il valore attuale dei pagamenti cedola che riceverai in futuro.

Per l'esempio 2, utilizzeremo la stessa tabella di flussi di cassa di rendita come abbiamo fatto nell'esempio 1. Per ottenere il valore totale scontato, dobbiamo prendere il valore attuale di ogni pagamento futuro e, come abbiamo fatto nell'esempio 1 , aggiungere i flussi di cassa insieme.

Anche in questo caso, il calcolo e l'aggiunta di tutti questi valori richiederanno una notevole quantità di tempo, soprattutto se ci aspettiamo molti pagamenti futuri. Come tale, possiamo utilizzare un collegamento matematico per PV di un'annuale ordinaria.

dove C = flusso di cassa per periodo

i = tasso di interesse

n = numero di pagamenti La formula ci fornisce il PV in pochi semplici passaggi. Ecco il calcolo dell'annualità rappresentata nel diagramma per l'esempio 2: = $ 1000 * [4. 33]

= $ 4329. 48

Calcolo del valore futuro di una rendita dovuta

Quando si riceve o paga i flussi di cassa per una rendita dovuta, il calendario dei flussi di cassa apparirà come segue:

Poiché ogni pagamento della serie è fatto un periodo prima, dobbiamo scontare la formula un periodo indietro. Una leggera modifica alla formula della rendita annuale di VV rappresenta i pagamenti che si verificano all'inizio di ogni periodo. Nell'Esempio 3, illustriamo perché questa modifica è necessaria quando ogni pagamento di $ 1 000 viene effettuato all'inizio del periodo piuttosto che alla fine (il tasso di interesse è ancora del 5%): Notare che quando i pagamenti vengono effettuati al all'inizio del periodo, ogni importo viene mantenuto più a lungo alla fine del periodo. Ad esempio, se i $ 1 000 sono stati investiti il ​​1 ° gennaio e non il 31 dicembre di ogni anno, l'ultimo pagamento prima di valutare il nostro investimento alla fine di cinque anni (il 31 dicembre) sarebbe stato effettuato un anno prima (1 gennaio) piuttosto che lo stesso giorno in cui viene valutato. Il valore futuro della formula di rendita si legge:

dove C = flusso di cassa per periodo

i = tasso di interesse

n = numero di pagamenti Quindi = $ 1000 * 5. 53 * 1. 05

= $ 5801. 91

Calcolare il valore attuale di una rendita dovuta Per il valore attuale di una formula a rendimento annuale, dobbiamo scontare il periodo di formula uno in avanti in quanto i pagamenti sono detenuti per una durata minore. Nel calcolo del valore attuale, supponiamo che il primo pagamento sia stato effettuato oggi.

Potremmo utilizzare questa formula per calcolare il valore attuale dei pagamenti futuri di affitto come specificato in un contratto di locazione firmato con il tuo padrone di casa. Diciamo per esempio 4 che fai il tuo primo pagamento di locazioni all'inizio del mese e sta valutando il valore attuale della tua locazione di cinque mesi nello stesso giorno. Il calcolo del valore attuale potrebbe funzionare come segue:

Naturalmente, è possibile utilizzare una scorciatoia formula per calcolare il valore attuale di una rendita dovuta:

dove C = flusso di cassa per periodo

i = tasso di interesse > n = numero di pagamenti

Quindi, = $ 1000 * 4. 33 * 1. 05 = $ 4545. 95

Ricordiamo che il valore attuale di un'annualità ordinaria ha restituito un valore di $ 4, 329. 48. Il valore attuale di un'annualità ordinaria è inferiore a quello di una rendita dovuta perché l'ulteriore sconto di un pagamento futuro, il suo valore attuale - ogni pagamento o flusso di cassa in una rendita ordinaria si verifica un periodo ulteriore in futuro.

La linea inferiore Ora puoi vedere come le rendite influenzano come calcolate il valore attuale e futuro di qualsiasi importo di denaro. Ricorda che le frequenze di pagamento o il numero di pagamenti e l'orario in cui vengono effettuati questi pagamenti (sia all'inizio che alla fine di ciascun periodo di pagamento) sono tutte le variabili da tenere conto nei tuoi calcoli.