I set di dati (come l'altezza di 100 persone, i segni ottenuti da 45 allievi in ​​una classe, ecc.) Tendono ad avere molti valori allo stesso punto dati o all'interno della stessa gamma. Questa distribuzione dei punti dati è chiamata la normale o la curva di campana. Ad esempio, in un gruppo di 100 individui, 10 possono essere inferiori a 5 piedi, 65 possono stare tra 5 e 5. 5 piedi e 25 possono essere superiori a 5. 5 piedi. Questa distribuzione a distanza può essere tracciata come segue:

Analogamente, i punti dati tracciati nei grafici per un determinato set di dati possono somigliare a diversi tipi di distribuzione. Tre dei più comuni sono allineati, distribuiti a destra e distribuiti:

Nota la tendenza rossa di ciascuno di questi grafici. Ciò mostra approssimativamente la tendenza alla distribuzione dei dati. La prima, "LEFT Aligned Distribution", indica che la maggior parte dei punti di dati rientra nell'intervallo più basso. Nella seconda grafica "RIGHT Aligned Distribution", la maggior parte dei punti dati cade nell'estremità superiore dell'intervallo, mentre l'ultima, "Distribution Jumbled", rappresenta un set di dati misti senza alcun trend chiaro.

Ci sono molti casi in cui la distribuzione di punti dati tende ad avere un valore centrale e questo grafico mostra una distribuzione perfetta normale, ugualmente equilibrata da entrambe le parti con il maggior numero di punti dati concentrato nel centro.

Ecco un set di dati perfetto e normalmente distribuito.

Il valore centrale è 50, che ha il maggior numero di punti dati e la distribuzione si uniforma uniformemente verso i valori finali di estremità 0 e 100, che hanno il minor numero di punti dati. La distribuzione normale è simmetrica intorno al valore centrale con metà dei valori su ciascun lato.

Molti esempi di vita reale si adattano alla distribuzione della curva di campana:

Spingi una moneta fiera più volte (diciamo 100 volte o più) e otterrai una distribuzione equilibrata di teste e code.

• Far scorrere parecchie volte i dadi giusti (diciamo 100 volte o più) e il risultato sarà una distribuzione equilibrata e normale, concentrata attorno al numero 7 e uniformemente consacrata verso i valori estremi di 2 e 12.
• The l'altezza degli individui in un gruppo di dimensioni considerevoli e le marche ottenute da persone in una classe seguono normalmente i modelli di distribuzione.
• In finanza, si presume che siano normalmente distribuiti i cambiamenti nei valori di log
• dei tassi Forex, degli indici dei prezzi e dei prezzi delle azioni.La relazione con la finanza e gli investimenti

Ogni investimento ha due aspetti: rischio e ritorno. Gli investitori cercano il rischio più basso possibile per ottenere il massimo rendimento possibile. La distribuzione normale quantifica questi due aspetti dalla media dei rendimenti e della deviazione standard per il rischio.(Per ulteriori informazioni, vedere:

Analisi di media varianza .) Medio

o Valore atteso La variazione media dei prezzi di una determinata quota potrebbe essere del 1,5% su base giornaliera - il che significa che, in media, aumenta di 1,5%. Questo valore medio o valore atteso che significa ritorno può essere raggiunto calcolando la media su un set di dati abbastanza grande contenente storici cambi quotidiani di quel titolo. Maggiore è la media, meglio è.

Deviazione standard

La deviazione standard indica la quantità in base alla quale i valori deviano mediamente dalla media. Maggiore è la deviazione standard, più rischioso l'investimento, in quanto porta ad una maggiore incertezza.

Ecco una rappresentazione grafica dello stesso:

Quindi, la rappresentazione grafica della distribuzione normale attraverso la sua media e deviazione standard, consente la rappresentazione di entrambi i rendimenti e il rischio all'interno di un intervallo ben definito.

Aiuta a sapere (e si assicura con certezza) che se alcuni dataset seguono il modello di distribuzione normale, la sua media ci permetterà di sapere quali restituisce aspettarsi e la sua deviazione standard ci permetterà di sapere che circa il 68% i valori saranno entro una deviazione standard, il 95% entro 2 deviazioni standard e il 99% dei valori rientrerà entro 3 deviazioni standard. Un set di dati che ha una media di 1. 5 e deviazione standard di 1 è molto più rischioso di un altro set di dati avente media di 1. 5 e deviazione standard di 0. 1.

Conoscere questi valori per ogni attività selezionata (ossia azioni, obbligazioni e fondi) renderà un investitore consapevole dei rendimenti e dei rischi attesi.

È facile applicare questo concetto e rappresentare il rischio e il rendimento su un singolo stock, obbligazioni o fondi, ma può essere esteso ad un portafoglio di più patrimoni?

Gli individui iniziano la negoziazione acquistando un singolo titolo o obbligazione o investendo in un fondo comune. A poco a poco, tendono ad aumentare le loro partecipazioni e acquistano più azioni, fondi o altre attività, creando così un portafoglio. In questo scenario incrementale, gli individui creano i loro portafogli senza una strategia o un grande pensiero. I gestori di fondi professionali, i commercianti ei market maker seguono un metodo sistematico per costruire il loro portafoglio utilizzando un approccio matematico chiamato moderna teoria del portafoglio (MPT) che si fonda sul concetto di "distribuzione normale. "

Teoria dei portafogli moderni

La teoria moderna del portafoglio offre un approccio matematico sistematico che mira a massimizzare il rendimento atteso di un portafoglio per una determinata quantità di rischio di portafoglio selezionando le proporzioni di vari asset. In alternativa, offre anche per minimizzare il rischio per un dato livello di rendimento atteso.

Per raggiungere questo obiettivo, le attività da includere nel portafoglio non dovrebbero essere selezionate unicamente sulla base del proprio merito individuale ma invece di come ciascuna attività sarà effettuata rispetto alle altre attività del portafoglio.

In poche parole, l'MPT definisce come meglio ottenere la diversificazione del portafoglio per i migliori risultati possibili: il rendimento massimo per un livello accettabile di rischio o un rischio minimo per un livello di rendimento desiderato.

The Building Blocks

L'MPT è stato un concetto rivoluzionario quando è stato introdotto che i suoi inventori hanno vinto un Noble Prize. Questa teoria ha fornito con successo una formula matematica per guidare la diversificazione nell'investimento.

La diversificazione è una tecnica di gestione del rischio che elimina il rischio di "tutte le uova in un cestello" investendo in azioni, settori o classi di attività non correlate. Idealmente, la performance positiva di un'attività del portafoglio annullerà l'andamento negativo di altre attività.

Per ottenere il rendimento medio del portafoglio che ha

n diverse attività, viene calcolata la combinazione ponderata proporzionale dei rendimenti degli elementi costitutivi. A causa della natura dei calcoli statistici e della distribuzione normale, il rendimento totale del portafoglio (R p _{) è calcolato come:} la somma (Σ) dove w

i _{asset i nel portafoglio, R} i _{è il rendimento (medio) dell'attività i.} Il rischio di portafoglio (o deviazione standard) è una funzione delle correlazioni degli asset inclusi, per tutte le coppie di asset (in relazione all'altro nella coppia). A causa della natura dei calcoli statistici e della distribuzione normale, il rischio complessivo del portafoglio (Std-dev)

p _{è calcolato come:} dove cor-cof è il coefficiente di correlazione tra i rendimenti delle attività i e j, e sqrt è la radice quadrata.

Ciò si occupa della relativa prestazione di ogni asset rispetto all'altro.

Anche se appare matematicamente complesso, il concetto semplice applicato qui include non solo le deviazioni standard delle singole attività, ma anche le relative relazioni tra loro.

Un buon esempio è disponibile qui dall'Università di Washington.

Un esempio rapido

Come esperimento di pensiero, supponiamo che siamo un gestore di portafogli che abbia ricevuto il capitale e sia incaricato di quanti fondi dovrebbero essere assegnati a due beni disponibili (A & B) il ritorno è massimo e il rischio è più basso.

Disponiamo inoltre dei seguenti valori:

R

a _{= 0. 175} R

b _{= 0. 055} (Std-dev) a

= 0. 258 _(Std-dev) b

= 0. 115 _(Std-dev) ab

= -0. 004875 _(Cor-cof) ab

= -0. 164 _{Cominciando con l'assegnazione pari a 50-50 a ciascuna attività A & B, la R} p

calcola a 0. 115 e (Std-dev) _p arriva a 0. 1323 Un semplice confronto ci dice che per questo 2 portafoglio di attività, il ritorno e il rischio sono a metà tra valori individuali di ciascuna attività. _{Tuttavia, il nostro obiettivo è quello di migliorare il rendimento del portafoglio al di là della media della singola attività e ridurre il rischio in modo che sia inferiore a quello delle singole attività.} Facciamo ora una posizione di allocazione del capitale di 1,5 in attività A e una -0. 5 posizione di allocazione del capitale nell'attivo B. (Allocazione di capitale negativo significa cortocircuito di quello azionario e di capitale ricevuto in usata per acquistare l'eccedenza di altre attività con allocazione positiva positiva. In altre parole, siamo un cortocircuito di azioni B per 0.5 volte di capitale e usando quei soldi per acquistare azioni A per importo pari a 1,5 volte di capitale.)

Utilizzando questi valori, ottieni R

p

come 0. 1604 e (Std-dev) < p _{come 0. 4005.} Analogamente, possiamo continuare ad utilizzare diversi pesi di allocazione per gli asset A & B e arrivare a diversi set di Rp e (Std-dev) p. Secondo il ritorno desiderato (Rp), si può scegliere il miglior livello di rischio accettabile (std-dev) p. In alternativa, per un livello di rischio desiderato, è possibile selezionare il miglior portafoglio disponibile disponibile. In entrambi i casi, attraverso questo modello matematico di teoria dei portafogli, è possibile soddisfare l'obiettivo di creare un portafoglio efficiente con la combinazione di rischi e rendimenti desiderati. _{L'utilizzo di strumenti automatizzati consente di individuare facilmente e senza problemi le migliori proporzioni assegnate, senza necessità di lunghi calcoli manuali.} La frontiera efficiente, il modello di prezzo del capitale (CAPM) e il prezzo degli asset che utilizzano MPT si evolvono anche dallo stesso modello di distribuzione normale e sono un'estensione per l'MPT.

Le sfide alla MPT (e alla sottostante distribuzione normale):

Purtroppo nessun modello matematico è perfetto e ognuno ha inadeguatezza e limitazioni.

L'ipotesi fondamentale secondo cui i rendimenti dei prezzi delle azioni seguono la distribuzione normale stessa si interroga ogni tanto. Esiste una sufficiente prova empirica di casi in cui i valori non riescono ad aderire alla presunta distribuzione normale. Basare modelli complessi su tali ipotesi può portare a risultati con grandi deviazioni.

Andando avanti in MPT, i calcoli e le ipotesi sul coefficiente di correlazione e sulla covarianza rimanendo fissi (basati su dati storici) potrebbero non necessariamente essere validi per i valori futuri previsti. Ad esempio, i mercati obbligazionari e azionari hanno mostrato una perfetta correlazione nel mercato britannico nel periodo 2001-2004, dove i rendimenti di entrambe le attività sono scesi contemporaneamente. In realtà, il contrario è stato osservato in lunghi periodi storici prima del 2001.

Il comportamento degli investitori non è preso in considerazione in questo modello matematico. Le imposte ei costi di transazione sono trascurati, anche se si assuma l'assegnazione di capitali frazionari e la possibilità di cortocircuiti.

In realtà, nessuna di queste ipotesi può restare vera, il che significa che i rendimenti finanziari realizzati possono differire significativamente dai profitti attesi.

La riga inferiore:

I modelli matematici forniscono un buon meccanismo per quantificare alcune variabili con singoli numeri tracciati. Ma a causa delle limitazioni delle ipotesi, i modelli possono fallire. La distribuzione normale, che costituisce la base della teoria del portafoglio, non può necessariamente applicarsi alle azioni e ad altri modelli di prezzo delle attività finanziarie. La teoria del portafoglio in sé ha molti presupposti che dovrebbero essere esaminati criticamente, prima di prendere decisioni finanziarie importanti.