È abbastanza impegnativo concordare il prezzo accurato di qualsiasi attività negoziabile, anche oggi. Ecco perché i prezzi delle azioni continuano a cambiare. In realtà l'azienda non cambia quasi mai la sua valutazione su base giornaliera, ma il prezzo delle azioni e la sua valutazione cambiano ogni secondo. Ciò dimostra la difficoltà di raggiungere un consenso sul prezzo attuale per qualsiasi attività negoziabile, che porta ad opportunità di arbitraggio. Tuttavia, queste opportunità di arbitraggio sono realmente corto.

Tutto si basa sulla valutazione di oggi - qual è il prezzo corrente attuale per un futuro versato previsto?

In un mercato competitivo, per evitare opportunità di arbitraggio, gli asset con strutture di payoff identiche devono avere lo stesso prezzo. La valutazione delle opzioni è stata un compito impegnativo e sono osservate elevate variazioni nei prezzi che portano ad opportunità di arbitraggio. Black-Scholes rimane uno dei modelli più utilizzati per le opzioni di pricing, ma ha le proprie limitazioni. (Per ulteriori informazioni, vedere: Prezzi delle opzioni ). Il modello di prezzi delle opzioni binomiali è un altro metodo popolare utilizzato per le opzioni di pricing. Questo articolo illustra alcuni esempi dettagliati e spiega il concetto di rischio neutro sottostante nell'applicazione di questo modello. (Per la lettura relativa, vedere: Rilasciare il modello binomiale per valorizzare un'opzione ).

Questo articolo assume la familiarità dell'utente con opzioni e concetti e termini correlati.

Supponiamo che esista un'opzione di chiamata su un determinato titolo il cui prezzo di mercato corrente sia di $ 100. L'opzione ATM presenta un prezzo di strike di $ 100 con la scadenza di un anno. Ci sono due commercianti, Peter e Paul, che entrambi concordano sul fatto che il prezzo delle azioni sia salito a 110 dollari o scenderà a 90 dollari in un anno. Entrambi concordano sui livelli di prezzo attesi in un dato lasso di tempo di un anno, ma non sono d'accordo sulla probabilità della mossa in alto (e verso il basso). Peter ritiene che la probabilità del prezzo delle azioni a 110 $ è del 60%, mentre Paul crede che sia il 40%.

In base a quanto sopra, chi sarebbe disposto a pagare più prezzo per l'opzione di chiamata?

Possibilmente Peter, come si aspetta alta probabilità della mossa in su.

Vediamo i calcoli da verificare e capire. Le due attività su cui dipende la valutazione sono l'opzione di chiamata e il titolo sottostante. C'è un accordo tra i partecipanti che il prezzo sottostante può passare da $ 100 a $ 110 o $ 90 in un anno e non ci sono altri movimenti di prezzo possibile.

In un mondo privo di arbitraggio, se dobbiamo creare un portafoglio composto da queste due attività (opzione call e sottostante stock) tali che indipendentemente da dove il prezzo sottostante va ($ 110 o $ 90), il rendimento netto del portafoglio sempre rimane lo stesso.Supponiamo di acquistare quote d 'azioni sottostanti e brevi opzioni per la creazione di questo portafoglio.

Se il prezzo passa a $ 110, le nostre azioni saranno valide $ 110 * d e perderemo $ 10 per il pagamento a breve termine. Il valore netto del nostro portafoglio sarà (110d - 10).

Se il prezzo scende a $ 90, le nostre azioni saranno valide $ 90 * d, e l'opzione scadrà senza valore. Il valore netto del nostro portafoglio sarà (90d).

Se vogliamo che il valore del nostro portafoglio rimanga la stessa, indipendentemente da dove va il prezzo sottostante, allora il nostro valore di portafoglio dovrebbe restare uguale in entrambi i casi, ad esempio. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. se acquistiamo una metà di quota (supponendo che gli acquisti frazionari siano possibili), riusciremo a creare un portafoglio in modo tale che il suo valore rimanga lo stesso in entrambi gli stati possibili entro il dato periodo di un anno. (punto 1)

Il valore del portafoglio, indicato con (90d) o (110d -10) = 45, è un anno lungo la linea. Per calcolare il suo valore attuale, può essere scontato da un tasso di rendimento privo di rischio (assumendo il 5%). <= 9 => 90d * exp (-5% * 1 anno) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => valore attuale del portafoglio

Dal momento che attualmente il portafoglio comprende ½ quota di azioni sottostanti con il prezzo di mercato $ 100) e una breve chiamata, dovrebbe essere uguale al valore attuale calcolato sopra i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * prezzo di chiamata = 42. 85

=> Prezzo di chiamata = $ 7. 14 i. e. il prezzo di chiamata a partire da oggi.

Poiché questo si basa sull'ipotesi sopra indicata che il valore del portafoglio rimane lo stesso a prescindere dal modo in cui il prezzo sottostante va (punto 1 sopra), la probabilità di spostamento verso l'alto o verso il basso non ha alcun ruolo qui. Il portafoglio rimane privo di rischi, a prescindere dai movimenti di prezzo sottostanti.

In entrambi i casi (ipotizzati per essere trasferiti a $ 110 e giù a $ 90), il nostro portafoglio è neutrale al rischio e guadagna il tasso di rendimento senza rischio.

Quindi entrambi i commercianti, Peter e Paul, saranno disposti a pagare gli stessi $ 7. 14 per questa opzione di chiamata, indipendentemente dalle proprie percezioni diverse delle probabilità delle mosse (60% e 40%). Le loro probabilità percepite individualmente non svolgono alcun ruolo nella valutazione delle opzioni, come si vede dall'esempio precedente.

Se si supponga che le probabilità individuali contengano, allora ci sarebbero state le opportunità di arbitraggio. Nel mondo reale, tali possibilità di arbitraggio esistono con differenziali di prezzo minori e svaniscono in breve tempo.

Ma dove è la volatilità molto appesa in tutti questi calcoli, che è un fattore importante (e più sensibile) che influenza il prezzo delle opzioni?

La volatilità è già inclusa dalla natura della definizione dei problemi. Ricorda che stiamo assumendo due (e solo due - e quindi il nome "binomiale") dei livelli di prezzo ($ 110 e $ 90). La volatilità è implicita in questo assunto e quindi inclusa automaticamente - 10% in entrambi i casi (in questo esempio).

Ora facciamo un controllo di sanità per vedere se il nostro approccio è corretto e coerente con il prezzo di Black-Scholes comunemente usato. (Vedi:

Il modello di valutazione dell'opzione Black-Scholes ). Ecco gli screenshot dei risultati delle calcolatrici delle opzioni (a causa dell'OIC), che corrisponde a fondo con il nostro valore calcolato.

Purtroppo, il mondo reale non è così semplice come "solo due stati". Ci sono diversi livelli di prezzo che possono essere raggiunti dal titolo fino al momento della scadenza.

È possibile includere tutti questi livelli multipli nel nostro modello binomiale di prezzi che è limitato a soli due livelli? Sì, è molto possibile, e per capirlo, andiamo in qualche semplice matematica.

Alcuni passaggi di calcolo intermedi vengono ignorati per mantenerlo riassunto e focalizzato sui risultati.

Per procedere ulteriormente, generalizziamo questo problema e la soluzione:

'X' è il prezzo di mercato attuale del titolo e 'X * u' e 'X * d' sono i prezzi futuri dei movimenti in alto e in basso ' anni dopo. Il fattore 'u' sarà maggiore di 1 mentre indica la mossa e 'd' si trova tra 0 e 1. Per esempio sopra, u = 1. 1 e d = 0. 9.

I payoffs dell'opzione call sono "P

fino _{" e "P} dn _{" per i movimenti verso l'alto e verso il basso, al momento della scadenza.} Se costruiamo un portafoglio di azioni acquistate oggi e una breve opzione di chiamata, allora dopo il tempo 't':

Valore del portafoglio in caso di up move = s * X * u - P

_{=> s * X * u - P}

Valore del portafoglio in caso di spostamento verso il basso = s * X * d - P _{dn < fino}

= p

fino _{- P} dn _{) / (X * (ud )) = la no. di azioni da acquistare per portafoglio privo di rischio}

Il valore futuro del portafoglio alla fine degli anni t sarà _{In caso di up move = s * X * u - P} fino _{= (P} fino

) / (X (ud)) * X * u - P

in su _{Il valore attuale di sopra può essere ottenuto scontando con un tasso di rendimento privo di rischio:} Questo dovrebbe corrispondere al portafoglio detentore delle azioni di X al prezzo X e al breve valore di chiamata 'c' i. e. la presenza attuale di (s * X-c) dovrebbe corrispondere a sopra. La soluzione per c dà infine c come: _{SE CIAMO RAPPORTO IL PREMIO DI CHIAMATA DOVREBBE ESSERE ADDIZIONATO A PORTFOLIO NON SOSTEGNO.} Un altro modo per scrivere l'equazione di cui sopra è riordinandolo come segue: _{Prendendo q come} l'equazione di cui sopra diventa _{Riordinando l'equazione in termini di "q" ha offerto una nuova prospettiva.}

"q" può ora essere interpretato come la probabilità della mossa in alto del sottostante (come "q" è associato con P

up

e "1-q" è associato a P

dn

). Nel complesso, l'equazione di cui sopra rappresenta il prezzo dell'opzione attuale i. e. il valore scontato del suo versamento alla scadenza.

Come è questa probabilità "q" diversa dalla probabilità di spostamento verso l'alto o verso il basso del sottostante?

Il valore del prezzo delle azioni a tempo t = q * X * u + (1-q) * X * d

Sostituendo il valore di q e riorganizzando, il prezzo delle azioni al momento t arriva a _{i . e. in questo mondo presunto di due stati, il prezzo del magazzino aumenta semplicemente per tasso di rendimento privo di rischio, i. e. esattamente come un asset privo di rischio e quindi rimane indipendente da qualsiasi rischio.Tutti gli investitori sono indifferenti al rischio sotto questo modello, e questo costituisce il modello di rischio neutro.} Probabilità "q" e "(1-q)" sono noti come probabilità di rischio neutro e il metodo di valutazione è conosciuto come modello di valutazione del rischio neutro. _{L'esempio precedente ha un requisito importante - la struttura futura di pagamento è richiesta con precisione (livello 110 e 90 dollari). Nella vita reale non è possibile una tale chiarezza sui livelli dei prezzi basati sul passo; piuttosto il prezzo si sposta in maniera casuale e può saldare a più livelli.} Estendiamo ulteriormente l'esempio. Supponiamo che siano possibili livelli di prezzo a due livelli. Sappiamo i payoffs finali di secondo passo e dobbiamo valutare l'opzione oggi (cioè al passo iniziale)

Lavorando all'indietro, la valutazione di primo passo intermedio (a t = 1) può essere fatta usando i payoff finali al passo due (t = 2) e quindi utilizzando la valutazione del primo passo calcolato (t = 1), la valutazione attuale (t = 0) può essere raggiunta utilizzando i calcoli precedenti.

Per ottenere il prezzo di opzione a no. 2, vengono utilizzati versamenti a 4 e 5. Per ottenere il prezzo per no. 3, vengono utilizzati versamenti a 5 e 6. Infine, i payoff calcolati a 2 e 3 sono utilizzati per ottenere il prezzo in no. 1.

Si prega di notare che il nostro esempio assume lo stesso fattore di spostamento verso l'alto (e verso il basso) in entrambi i passaggi - u (e d) vengono applicati in modo composto.

Ecco un esempio di lavoro con calcoli:

Assumi un'opzione put con prezzo di strike $ 110 attualmente scambiato a $ 100 e scadenza in un anno. Il tasso annuo libero al rischio è al 5%. Il prezzo dovrebbe aumentare del 20% e diminuire il 15% ogni sei mesi.

Configuraamo il problema:

Qui, u = 1. 2 e d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

usando la formula derivata sopra

, otteniamo q = 0. 35802832

valore dell'opzione put al punto 2,

A P

upup

condizioni, sottostante sarà = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 che porta a P

upup

= zero

A P

updn

condizioni, il sottostante sarà = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 che porta a P _aggiornare = $ 8 _{A P} dndn

condizioni, il sottostante sarà = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 dollari. 25 che porta a P _dndn = $ 37. 75 _p 2

= 0. 975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5. 008970741 _{Analogamente, p} 3 > = 0. 975309912 * (0 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37,75) = 26. 42958924 _{E quindi il valore dell'opzione put, p} 1

= 0. 975309912 * (0 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) = _{18 dollari. 29.} Analogamente, i modelli binomiali consentono di interrompere l'intera durata dell'opzione per raffinare più livelli / livelli multipli. Utilizzando programmi di computer o fogli di calcolo si può lavorare all'indietro un passo alla volta per ottenere il valore attuale dell'opzione desiderata.

Concludiamo con un altro esempio che comporti tre passaggi per la valutazione di opzione binomiale: _{Assumi un'opzione put di tipo europeo, avendo 9 mesi di scadenza con il prezzo di strike di $ 12 e il prezzo sottostante corrente a $ 10. Assumi il tasso di rischio libero del 5% per tutti i periodi. Supponiamo ogni 3 mesi, il prezzo sottostante può spostare il 20% su o giù, dandoci u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 e 3 stadi binomiali.} Le cifre in rosso indicano i prezzi sottostanti, mentre quelli in blu indicano il pagamento dell'opzione put.

La probabilità neutrale del rischio q calcola a 0. 531446. _{Utilizzando il valore sopra riportato di q e dei valori di payoff a t = 9 mesi, i valori corrispondenti a t = 6 mesi sono calcolati come:} i valori calcolati a t = 6, i valori a t = 3 e poi a t = 0 sono: dando il valore attuale dell'opzione put come $ 2. 18, che è abbastanza vicino a quello calcolato usando il modello Black-Scholes ($ 2,3)

La linea inferiore

Anche se l'uso di programmi informatici può fare molto di questi calcoli intensivi, la previsione dei prezzi futuri rimane una limitazione importante dei modelli binomiali per il pricing delle opzioni. Quanto più fini gli intervalli di tempo, più difficile è quello di prevedere precocemente i payoff alla fine di ogni periodo. Tuttavia, la flessibilità di incorporare i cambiamenti come previsto in diversi periodi di tempo è un ulteriore aggiunto, che lo rende adatto per il prezzo delle opzioni americane, comprese le valutazioni di esercizio precoce. I valori calcolati usando il modello binomiale corrispondono strettamente a quelli calcolati da altri modelli comunemente usati come il Black-Scholes, che indica l'utilità e l'accuratezza dei modelli binomiali per il prezzo delle opzioni. I modelli di prezzi binomiali possono essere sviluppati secondo una preferenza del commerciante e funzionano come un'alternativa a Black-Scholes.