La volatilità è la misura più comune del rischio, ma si presenta in diversi gusti. In un precedente articolo abbiamo mostrato come calcolare la volatilità storica semplice. (Per leggere questo articolo, vedere Uso della volatilità per misurare il rischio futuro .) In questo articolo si migliorerà su una semplice volatilità e discuteremo la media mobile esponenziale ponderata (EWMA).

Storico Vs. Volatilità implicita

In primo luogo, mettiamo questa metrica in un po 'di prospettiva. Ci sono due approcci generali: la volatilità storica e implicita (o implicita). L'approccio storico assume che il passato sia prologo; misuriamo la storia nella speranza che sia predittivo. La volatilità implicita, d'altra parte, ignora la storia; risolve per la volatilità implicita dai prezzi di mercato. Spera che il mercato sa meglio e che il prezzo di mercato contiene, anche se implicitamente, una stima del consenso della volatilità.

Se ci concentriamo solo sui tre approcci storici (a sinistra sopra), hanno due passi in comune:

Calcola la serie di rendimenti periodici

1. Applica uno schema di ponderazione >
2. In primo luogo, calcoliamo il ritorno periodico. Questa è tipicamente una serie di rendimenti giornalieri in cui ogni ritorno è espresso in termini costantemente aggravati. Per ogni giorno, prendiamo il log naturale del rapporto tra i prezzi delle azioni (cioè, prezzo oggi diviso per prezzo ieri, ecc.).

Questo produce una serie di rendimenti giornalieri, da u

i

a u _i-m , a seconda di quanti giorni (m = giorni) stiamo misurando. _{Questo ci porta al secondo passo: qui sono diversi i tre approcci. Nell'articolo precedente abbiamo mostrato che, in un paio di semplificazioni accettabili, la semplice varianza è la media dei rendimenti quadrati:} Si noti che questo somma ciascuno dei rendimenti periodici, quindi divide tale per numero di giorni o osservazioni (m). Quindi, è solo una media dei rendimenti periodici quadrati. Mettere un altro modo, ogni ritorno quadrato è dato un peso uguale. Quindi, se l'alfa (a) è un fattore di ponderazione (in particolare, a = 1 / m), allora una semplice varianza ha qualcosa di simile:

L'EWMA migliora sulla semplice varianza

La debolezza di questo approccio è che tutti i rendimenti guadagnare lo stesso peso. Il ritorno di ieri (molto recente) non ha più influenza sulla varianza del ritorno del mese scorso. Questo problema viene risolto utilizzando la media mobile ponderata in modo esponenziale (EWMA), in cui i rendimenti più recenti hanno maggiore peso sulla varianza.

La media mobile esponenziale ponderata (EWMA) introduce lambda, che viene chiamato parametro di levigatura. Lambda deve essere inferiore a uno. In questa condizione, invece di pesi uguali, ogni ritorno quadrato è ponderato da un moltiplicatore come segue:
Ad esempio, RiskMetrics

TM

, ^{una società di gestione dei rischi finanziari tende ad utilizzare un lambda di 0.94, o 94%. In questo caso, il primo (più recente) ritorno periodico quadrato è ponderato da (1-0.94) (.94) ₀} = 6%. Il successivo ritorno quadrato è semplicemente un multiplo lambda del peso precedente; in questo caso 6% moltiplicato per 94% = 5. 64%. E il peso del terzo giorno precedente equivale (1-0,94) (0,94) ² = 5,30%. ^{Questo è il significato di "esponenziale" in EWMA: ogni peso è un moltiplicatore costante (ossia lambda, che deve essere inferiore a uno) del peso del giorno precedente. Ciò garantisce una varianza che è ponderata o biasata verso dati più recenti. (Per ulteriori informazioni, consultare il Foglio di lavoro di Excel per la volatilità di Google). La differenza tra la semplice volatilità e EWMA per Google è mostrata di seguito.} La volatilità semplice pesa in modo efficace ogni ritorno periodico di 0, 196% come mostrato nella colonna O (abbiamo avuto due anni di quotazioni quotidiane dei titoli azionari, cioè 509 rendimenti giornalieri e 1/509 = 0. 196%). Ma nota che la colonna P assegna un peso del 6%, poi del 5. 64%, quindi del 5. 3% e così via. Questa è l'unica differenza tra la varianza semplice e l'EWMA.

Ricorda: dopo aver riassunto l'intera serie (nella colonna Q) abbiamo la varianza, che è il quadrato della deviazione standard. Se vogliamo volatilità, dobbiamo ricordare di prendere la radice quadrata di quella varianza.

Qual è la differenza nella volatilità quotidiana tra la varianza e l'EWMA nel caso di Google? È significativo: la semplice varianza ci ha dato una volatilità giornaliera del 2,4%, ma l'EWMA ha dato una volatilità giornaliera di soli 1,4% (per ulteriori dettagli vedere il foglio di calcolo). A quanto pare, la volatilità di Google si è stabilizzata più recentemente; quindi una semplice varianza potrebbe essere artificialmente elevata.

La varianza di oggi è una funzione della varianza del giorno precedente

Noterete che abbiamo bisogno di calcolare una lunga serie di pesi in declino esponenzialmente. Noi non faremo la matematica qui, ma una delle migliori caratteristiche dell'EWMA è che l'intera serie riduca convenientemente a una formula ricorsiva:

ricorsivo significa che le odierne referenze di varianza (cioè una funzione della varianza del giorno precedente) . È possibile trovare anche questa formula nel foglio di calcolo e produce lo stesso risultato del calcolo a lungo termine! Dice: la varianza di oggi (sotto EWMA) equivale alla varianza di ieri (ponderata da lambda) più il ritorno quadrato di ieri (pesato da un minus lambda). Notate come stiamo aggiungendo due termini: la varianza ponderata di ieri e il ritorno retribuito ponderato di ieri.

Anche così, lambda è il nostro parametro di levigatura. Un lambda più alto (ad esempio, come il 94% di RiskMetric) indica un decadimento più lento della serie - in termini relativi, avremo più punti dati nella serie e stiamo andando a "scendere" più lentamente. D'altra parte, se riduciamo l'lambda, indichiamo un decadimento più elevato: i pesi cadono più velocemente e, come risultato diretto del rapido decadimento, vengono utilizzati meno punti dati. (Nel foglio di calcolo lambda è un input, in modo da poter sperimentare la sua sensibilità).

Sommario

La volatilità è la deviazione standard istantanea di uno stock e la metrica di rischio più comune.È anche la radice quadrata della varianza. Possiamo misurare la varianza storicamente o implicitamente (volatilità implicita). Quando si misura storicamente, il metodo più semplice è la varianza semplice. Ma la debolezza con semplice varianza è che tutti i ritorni ricevono lo stesso peso. Quindi ci troviamo di fronte a un compromesso classico: vogliamo sempre più dati ma più dati che abbiamo più il nostro calcolo viene diluito da dati distanti (meno rilevanti). La media mobile ponderata in modo esponenziale (EWMA) migliora la varianza semplice assegnando pesi ai rendimenti periodici. Facendo questo, possiamo utilizzare sia una grande dimensione del campione, ma anche dare maggiore peso ai rendimenti più recenti.